La Teoria de Punt Fix i les seves Aplicacions a la Teoria d'Equilibri

Abstract

[cat] L’objectiu principal d’aquest treball és introduir al lector en el món de la teoria de punt fix. En les següents pàgines es presenten els pilars de la teoria de punt fix i com aquesta permet resoldre diferents tipus de problemes relacionats amb les àrees mencionades. En concret, en el Capítol 1, introduirem els diferents tipus bàsics de funcions contractives que es troben a la literatura i n’exposarem alguns exemples. De tots ells, ens restringirem a estudiar-ne dos en el capítols posteriors: les funcions k-contractives i les contractives. En el Capítol 2 introduirem, demostrarem i explicarem la importància del Teorema de Punt Fix de Banach. Per altra part, en el Capítol 3 exposarem el model econòmic lineal de l’oferta i demanda del mercat i l’algoritme del PageRank de Google. A més, mostrarem com el Teorema de Punt Fix de Banach permet resoldre el model i l’algoritme de Google mencionats. En tercer lloc, en el Capítol 4 donarem diferents teoremes que es poden entendre com generalitzacions del Teorema de Banach. Per tant, s’obtendrà la existència i unicitat de punt fix en alguns casos en què el Teorema de Banach no pot ser aplicat. Finalment, s’ha afegit un capítol d’annexos on trobarem detallats alguns resultats auxiliars i algoritmes utilitzats al llarg del treball amb la finalitat d’aconseguir una lectura més fluida i àgil del cos del treball.