Introducció a la Combinatòria en filogenètica

Abstract

[cat] L’objectiu d’aquest treball és explorar algunes aplicacions de les matemàtiques en l’anàlisi d’arbres i xarxes filogenètiques, i en concret en la seva representació. Més específicament, en primer lloc introduïmles tres formes més usuals per codificar un arbre filogenètic no arrelat (o, més en general, un X-arbre: un arbre no arrelat amb, com a mínim, totes les seves fulles i tots els seus nodes de grau 2 etiquetats en un conjunt X, de manera que cada node pot rebremés d’una etiqueta però cap etiqueta no pot ser assignada a més d’un node), que són: per mitjà d’una família de splits, per mitjà d’una família de quartets, i per mitjà d’una mètrica. Per a cada un d’aquests tipus de representacions, demostrem que un arbre filogenètic no arrelat queda determinat demanera única (llevat d’isomorfismes) per la seva representació corresponent. A més, estenem aquestes representacions a arbres filogenètics amb pesos: és a dir, amb una assignació de pesos estrictament positius a les arestes. A continuació, per a cada una d’aquestes representacions, establim un conjunt necessari i suficient de condicions per què representi un arbre filogenètic no arrelat: en el cas de les mètriques i els splits, de fet trobam un conjunt necessari i suficient de condicions per què representin un X-arbre. Així mateix, estenem aquestes condicions a arbres amb pesos. Com a conseqüència d’aquestes condicions necessàries i suficients, no tota família de splits, ni tota família de quartets, ni tota mètrica, representen un arbre filogenètic. Això introdueix la qüestió de trobar grafs més generals que puguin ser representats per qualsevol d’aquests tres objectes: són els diferents tipus de xarxes filogenètiques. Per raons d’espai i temps, aquí només hem introduït les xarxes de splits i demostrat que tota família de splits representa un graf d’aquest tipus, permitjà de la construcció del graf de Buneman. Finalment, traduïm aquestes representacions a arbres filogenètics arrelats, i obtenim les seves representacions mitjançant famílies de clusters, famílies de tripletes i dissimilituds: per a cada una d’elles, mostram una altra vegada que l’arbre filogenètic arrelat queda determinat per la representació corresponent, i donam condicions necessàries i suficients per què un objecte d’aquests representi un arbre filogenètic arrelat.