Generating Functional Analysis of a Thresholded Random Generalized Lotka-Volterra Model

Abstract

[eng] This project studied a variation of the Random Generalized Lotka-Volterra (rGLV) model, commonly used to analyze ecological communities and biodiversity stability. The proposed variation introduces a threshold to species abundance, removing those species from the community whose abundance falls below a certain value. This approach allows for analyzing the effect of eliminating less adapted species and observing the impact on the rest of the community. The model is encouraged to study possible consequences in biological communities where the Allee effect and a Extintion threshold are present. First, the original model without a threshold is reviewed, presenting known numerical results and exploring key parameters such as interaction strength, variance, and correlation of the interaction coefficients. Then, the theoretical model, analyzed using the Generating Functional Method, is extended to include the threshold, allowing for comparisons between theoretical predictions and numerical results. The study identifies four regimes as model parameters vary, highlighting a stable regime where the system reaches a fixed point independent of initial conditions, and an unstable regime where the dynamics are sensitive to these conditions. In the stable phase, the theoretical model accurately predicts the numerical results. However, in the unstable phase, discrepancies arise, particularly in regions near the threshold. The transition between the stable and unstable phases has been measured numerically, showing that the introduction of the threshold smooths this transition compared to the original model without a threshold. Finally, the effect of the threshold is numerically studied when the system is in an intermediate phase between the stable and unbounded ones. It is found that, without the threshold, the system exhibits a rich variety of persistent dynamics, including both periodic and potentially chaotic behavior. However, introducing the threshold suppresses this behavior, leading the system to fixed-point configurations sensitive to initial conditions.

[spa] Este proyecto estudió una variación del modelo Random Generalized Lotka-Volterra (rGLV), comúnmente utilizado para analizar comunidades ecológicas y la estabilidad de la biodiversidad. La variación propuesta introduce un umbral en la abundancia de las especies, eliminando de la comunidad aquellas cuya abundancia cae por debajo de un cierto valor. Esto permite analizar el efecto de eliminar especies menos adaptadas y observar el impacto en el resto de la comunidad. El modelo es motivado para estudiar las posibles consecuencias en comunidades biológicas donde están presentes el efecto Allee y un Umbral de extinción. Primero, se revisa el modelo original sin umbral, presentando resultados numéricos ya conocidos y explorando parámetros clave como la intensidad de las interacciones, la varianza y la correlación de los coeficientes de interacción. Luego, se extiende el modelo teórico, analizado utilizando el Método del Funcional Generador, para incluir el umbral, lo que permite la comparación entre las predicciones teóricas y los resultados numéricos. El estudio identifica cuatro regímenes a medida que varían los parámetros del modelo, destacando un régimen estable donde el sistema alcanza un punto fijo independiente de la condición inicial, y un régimen inestable donde las dinámicas son sensibles a dicha condición. En la fase estable, el modelo teórico predice con precisión los resultados numéricos. Sin embargo, en la fase inestable, se observan discrepancias, especialmente en las regiones cercanas al umbral. La transición entre las fases estable e inestable se ha medido numéricamente, mostrando que la introducción del umbral suaviza esta transición en comparación con el modelo original sin umbral. Finalmente, se estudia numéricamente el efecto del umbral cuando el sistema se encuentra en una fase intermedia entre la estable y la divergente. Se encuentra que sin el umbral, el sistema muestra una rica variedad de dinámicas persistentes, incluidas tanto conductas periódicas como potencialmente caóticas. Sin embargo, al introducir el umbral, este comportamiento se suprime, llevando al sistema únicamente a configuraciones de punto fijo sensibles a las condiciones iniciales.