Generation of stochastic trajectories: Applications to complex systems

Abstract

[eng] The generation of stochastic trajectories is one of the preferred tools to study complex systems. To begin with, the analysis of trajectories gives important information at a simple glimpse (e.g. relevant scales, size of uctuations, the duration of transient regimes, or the presence of stationary states). Furthermore, the statistical characterization of trajectories unveils quantitative descriptions for the processes, since it allows computing averages and probability distributions for observables of interest. This thesis rst focuses on reviewing the principal methods to generate stochastic trajectories, comparing their strengths and key features. Then, these methods are used to address two questions in the context of epidemiology: What is the e ect of the mobility structure of cities in the spreading of infectious diseases? And what is the mechanism behind the long epidemic survival times widely observed in COVID- 19 data? Finally, we will enter the problem of the generation of rare trajectories, which are inaccessible for standard algorithms in feasible times. We present a new method to sample such rare trajectories coined the \backtracking method". The inspection of stochastic trajectories will be recurrently complemented with standard techniques from the theory of stochastic process, which are also presented in a selfcontained manner, such as the computation of absorption times with the backward Kolmogorov equations or the Wentzel-Kramers-Brillouin method.

[spa] La generaci on de trayectorias estoc asticas es una de las t ecnicas predilectas para el estudio de sistemas complejos. Para empezar, el an alisis de las trayectorias brinda informaci on relevante a simple vista (por ejemplo, sobre las escalas caracter sticas, el tama~no de las uctuaciones, la duraci on de fases transitorias o la presencia de estados estacionarios). M as a un, la caracterizaci on estad stica de las trayectorias puede desvelar descripciones cuantitativas, ya que esta permite calcular promedios y distribuciones de probabilidad para los observables de inter es. El primer objetivo de esta tesis es el de revisar los principales m etodos num ericos para generar trayectorias estoc asticas, comparando sus ventajas y principales caracter sticas. Posteriormente, estos m etodos ser an usados para responder dos preguntas en el contexto de la epidemiolog a: >Cu al es el efecto de la estructura de movilidad urbana en el esparcimiento de una enfermedad contagiosa? Y >Cu al es el mecanismo detr as de la persistencia epid emica globalmente observada en los datos del COVID-19? Finalmente, abordaremos el problema de la generaci on de trayectorias raras, que son inaccesibles para los algoritmos est andar en tiempos de computaci on aceptables. En esta direcci on, presentamos un nuevo m etodo para obtener dichas trayectorias raras que llamamos el \backtracking method ". La inspecci on de trayectorias ser a recurrentemente acompa~nada de t ecnicas propias de la teor a de procesos estoc asticos, que presentaremos de forma autocontenida, como el c alculo de tiempos de supervivencia haciendo uso de las ecuaciones de Kolmogorov "backward " o los m etodos de Wentzel -Kramers -Brillouin .

[cat] La generaci o de traject ories estoc astiques es una de les t ecniques predilectes per a l'estudi de sistemes complexos. Per a comen car, l'an alisi de les traject ories brinda informaci o rellevant a simple vista (per exemple, sobre les escales caracter stiques, la grand aria de les uctuacions, la durada de fases transit ories o la pres encia d'estats estacionaris). M es encara, la caracteritzaci o estad stica de les traject ories pot revelar descripcions quantitatives, ja que aquesta permet calcular mitjanes i distribucions de probabilitat per als observables d'inter es. El primer objectiu d'aquesta tesi es el de revisar els principals m etodes num erics per a generar traject ories estoc astiques, comparant els seus avantatges i principals caracter stiques. Posteriorment, aquests m etodes seran utilitzats per a respondre dues preguntes en el context de l'epidemiologia: Quin es l'efecte de l'estructura de mobilitat urbana en l'esplai d'una malaltia contagiosa? I quin es el mecanisme darrere de la persist encia epid emica globalment observada en les dades de la COVID-19? Finalment, abordarem el problema de la generaci o de traject ories rares, que s on inaccessibles per als algorismes est andard en temps de computaci o acceptables. En aquesta direcci o, presentem un nou m etode per a obtenir aquestes traject ories rares que anomenem el "backtracking method". La inspecci o de traject ories ser a recurrentment acompanyada de t ecniques pr opies de la teoria de processos estoc astics, que presentarem de forma autocontinguda, com el c alcul de temps de superviv encia fent us de les equacions de Kolmogorov "backward" o els m etodes de Wentzel-Kramers-Brillouin.