Mathematical Analysis of Signed Networks: Structure and Dynamics

Abstract

[eng] Signed networks, characterized by the presence of both positive and negative edges, offer a powerful framework for modeling complex systems with antagonistic interactions. These systems are ubiquitous across various scientific domains, including social sciences, ecology, molecular biology, economics, neuroscience, and international relations. Despite this prevalence, most approaches have neglected the information conveyed by negative edges, thus failing to capture the full complexity of these systems. Recently, however, this has begun to change, with researchers paying increasing attention to the development of mathematical tools to analyze signed networks.

This thesis contributes to this collective effort by analyzing the structure and dynamics of signed networks from a walk-based perspective. We show that walk enumeration can be leveraged to capture structural properties of signed networks, such as local balance, effective alliances or enmities, signed Euclidean distances, similarity metrics, and correlation coefficients. This thesis also investigates how the structure of signed networks impacts dynamical processes taking place on them, focusing on standard and anomalous diffusion models, where structural balance is shown to influence the convergence towards a stationary state. Finally, we prove the practical utility of our theoretical results by applying them to the analysis of various real-world datasets. In particular, we show how our metrics can be used to detect factions of antagonizing agents, uncover hierarchies of alliances, and identify polarized nodes. A particular emphasis is placed on the analysis of international relations throughout history. Our metrics are able to effectively detect significant historical events and periods of conflict, offering a quantitative approach that complements traditional narrative-driven historical research. Overall, this thesis provides a rigorous mathematical foundation for the mathematical analysis of signed networks, as well as a set of versatile tools for analyzing empirical systems that exhibit a mix of cooperation and conflict.

[cat] Les xarxes amb signe, caracteritzades per la presència de connexions tant positives com negatives, proporcionen un bon marc conceptual per modelar sistemes complexos amb interaccions antagòniques. Aquests sistemes són comuns en una àmplia varietat de camps científics, com les ciències socials, l’ecologia, la biologia molecular, l’economia, les neurociències i les relacions internacionals. No obstant això, la majoria d’enfocs tradicionals han ignorat la informació proporcionada per les connexions negatives, fet que ha impedit capturar plenament la complexitat d’aquests sistemes. En els darrers anys, aquesta tendència ha començat a canviar, amb un creixent interès per desenvolupar eines matemàtiques per a l’anàlisi de xarxes amb signe.

Aquesta tesi contribueix a aquest esforç col·lectiu mitjançant l’anàlisi de l’estructura i la dinàmica de xarxes amb signe des d’una perspectiva basada en camins (walks). L’enumeració de camins ofereix una manera senzilla d’extreure diverses propietats estructurals d’aquest tipus de xarxes, com ara el balanç local, aliances efectives, distàncies euclidianes, mètriques de similitud i coeficients de correlació. A més, aquesta tesi explora com l’estructura de les xarxes amb signe afecta els processos dinàmics que hi tenen lloc. La nostra investigació se centra en models de difusió estàndard i anòmala, en què el balanç estructural juga un paper clau en la convergència cap a un estat estacionari. Finalment, mostrem l’aplicabilitat pràctica dels resultats teòrics a través de l’anàlisi de dades empíriques. En particular, les nostres mètriques permeten detectar faccions, identificar jerarquies d’aliances i localitzar nodes polaritzats. Una aplicació especialment rellevant és l’estudi de les relacions internacionals al llarg de la història. Les nostres mètriques són capaces d’identificar esdeveniments històrics significatius i períodes de conflicte, proporcionant un enfocament quantitatiu que complementa l’enfocament tradicional de la narrativa històrica. En definitiva, aquesta tesi ofereix una base matemàtica rigorosa per a l’anàlisi de xarxes amb signe, així com un conjunt d’eines versàtils per a l’estudi de sistemes empírics que presenten una combinació de cooperació i conflicte.

[spa] Las redes con signo, caracterizadas por la presencia de conexiones tanto positivas como negativas, proporcionan un buen marco conceptual para modelar sistemas complejos con interacciones antagónicas. Estos sistemas son comunes en una amplia variedad de campos científicos, como las ciencias sociales, la ecología, la biología molecular, la economía, las neurociencias y las relaciones internacionales. Sin embargo, la mayoría de enfoques tradicionales han ignorado la información proporcionada por las conexiones negativas, lo que ha impedido captar plenamente la complejidad de estos sistemas. En los últimos años, esta tendencia ha comenzado a cambiar, con un creciente interés por desarrollar herramientas matemáticas para el análisis de redes con signo.

Esta tesis contribuye a este esfuerzo colectivo mediante el análisis de la estructura y dinámica de redes con signo desde una perspectiva basada en caminos (walks). La enumeración de caminos ofrece una forma sencilla de extraer varias propiedades estructurales de este tipo de redes, tales como el balance local, alianzas efectivas, distancias euclidianas, métricas de similitud y coeficientes de correlación. Además, la tesis explora cómo la estructura de las redes con signo afecta los procesos dinámicos que ocurren en ella. Nuestra investigación se centra en modelos de difusión estándar y anómala, en los que el balance estructural desempeña un papel clave en la convergencia hacia un estado estacionario. Finalmente, mostramos la aplicabilidad práctica de los resultados teóricos a través del análisis de datos empíricos. En particular, nuestras métricas permiten detectar facciones, identificar jerarquías de alianzas y localizar nodos polarizados. Una aplicación particularmente relevante es el estudio de relaciones internacionales a lo largo de la historia. Nuestras métricas son capaces de identificar eventos históricos significativos y períodos de conflicto, proporcionando un enfoque cuantitativo que complementa el enfoque tradicional de la narrativa histórica. En definitiva, esta tesis ofrece una base matemática rigurosa para el análisis de redes con signo, así como un conjunto de herramientas versátiles para el estudio de sistemas empíricos que presentan una combinación de cooperación y conflicto.